2. Suatu zat radioaktif dengan massa 400 gram memiliki waktu paruh 5 tahun. Berapa tahun zat radioaktif tersebut sehingga massanya menjadi 1,5625 gram?
- Ketinggian bola setelah memantul sebanyak 5 kali adalah 4/243 meter.
- Agar massa zat radioaktif tersebut meluruh menjadi 1,5625 gram, diperlukan waktu 45 tahun.
Pembahasan
Nomor 1
- Ketinggian awal bola = 4 m
- Setelah memantul sekali, ketinggian bola adalah 4 × 1/3 = 4/3 m.
- Setelah memantul dua kali, ketinggian bola adalah 4/3 × 1/3 = 4/9 m.
- Dst.
Jadi, ketinggian bola setelah memantul sebanyak 5 kali adalah suku ke-6 dari barisan geometri 4, 4/3, 4/9, ... dengan suku pertama 4 dan rasio 1/3.
Karena banyak suku yang dievaluasi relatif sedikit, kita jabarkan saja hingga suku ke-6.
⇒ 4, 4/3, 4/9, 4/27, 4/81, 4/243 meter
Atau kita gunakan rumus barisan aritmetika.
[tex]\begin{aligned}U_n&=ar^{n-1}\\&\ (a=4,\ r=1/3,\ n=6)\\U_6&=4\left(\frac{1}{3}\right)^{6-1}=4\left(3^{-1}\right)^5\\&=4\left(3^{5}\right)^{-1}=4\left(3\cdot9^2\right)^{-1}\\&=4\left(3\cdot81\right)^{-1}=4\left(243\right)^{-1}\\\therefore\ U_6&=\boxed{\bf\frac{4}{243}\ meter}\end{aligned}[/tex]
∴ Dengan demikian, ketinggian bola setelah memantul sebanyak 5 kali adalah 4/243 meter.
[tex]\blacksquare[/tex]
Nomor 2
Pada satu periode waktu paruh, zat radioaktif meluruh menjadi ½ kalinya. Maka, massa zat radioaktif yang meluruh dari waktu ke waktu membentuk barisan geometri dengan rasio ½.
Dengan menganggap massa awal zat radioaktif sebagai suku pertama, maka pada periode ke-[tex]n[/tex], massanya dinyatakan oleh suku ke-[tex]n[/tex] barisan geometri tersebut, yaitu [tex]U_n=ar^{n-1}[/tex].
Dengan [tex]a[/tex] = 400 gram, [tex]r[/tex] = ½ = [tex]2^{-1}[/tex], dan [tex]U_n[/tex] = 1,5625 gram, dapat diperoleh:
[tex]\begin{aligned}1{,}5625&=400\left(2^{-1}\right)^{n-1}\\1+0{,}5625&=\left(5^2\cdot2^4\right)\left(2^{1-n}\right)\\1+(0{,}75)^2&=5^2\cdot2^{5-n}\\1+\left(\frac{3}{4}\right)^2&=5^2\cdot2^{5-n}\\\frac{16}{16}+\frac{9}{16}&=5^2\cdot2^{5-n}\\\frac{25}{16}&=5^2\cdot2^{5-n}\\\frac{\cancel{5^2}}{2^4}&=\cancel{5^2}\cdot2^{5-n}\\2^{-4}&=2^{5-n}\\-4&=5-n\\\therefore\ n&=\bf9\end{aligned}[/tex]
∴ Dengan [tex]n = 9[/tex], dan waktu paruh = 5 tahun, maka agar massa zat radioaktif tersebut meluruh menjadi 1,5625 gram, diperlukan waktu 9×5 = 45 tahun.
[tex]\blacksquare[/tex]
[answer.2.content]
